采用室内胡椒罐实验与颗粒流模拟软件 PFC2D、3D 相结合的方法，探讨影响颗粒物流速的相关因素。研究根据结果得出，在一些范围内颗粒质量流率与容器孔径呈正相关关系，并满足 Beverloo 公式；颗粒物流速与颗粒直径、颗粒刚度、摩擦系数等参数呈负相关变化。此外，开孔处倾角、外力等因素对颗粒运动也有着重要影响，增加倾角能改变颗粒物的流动状态，使其从漏斗流向平推流转变，流速增加；施加外力可以破坏颗粒间形成的成拱结构，降低发生堵塞的概率。
颗粒物质是自然界及人类生产生活中最广泛存在的物质类型之一，大到自然界中的浮冰、砂石，小到生活中的糖、盐，皆由颗粒物质组成。可以说，颗粒物质无处不在。这里所述的颗粒物质一般指由尺寸 d 1μm 的颗粒组成的宏观体系，其动态性和多变性较高，且有不一样于固体、液体、气体的特殊性质和运动规律[1]。颗粒间的相互作用以摩擦和碰撞为主，其应力分布不均匀，通过力链形成网络。颗粒还具有成拱性质，当颗粒密度增加时，其常在开孔处形成“拱桥”而引发堵塞。拱形结构上颗粒的应力很强, 而其旁边的颗粒受力大大减弱[1], 因此该平衡系统不稳定，轻微的碰撞或振动即可破坏该成拱结构，引起颗粒的分离。颗粒流在工业生产和人类生活中发挥着举足轻重的作用，如沙漏计时器、振动筛选器等，以及应用于粮仓堆积[2]、尾矿库坝体、地震液化[3]等各个方面。
颗粒物质凭借其特殊又复杂静态性质与流动特征成为当下各学者研究的热点。其中，颗粒从一深容器水平口底部流出是当前研究颗粒流的重要模型之一[4]，其水平孔洞的流量由 Beverloo 经验公式给出。本文以胡椒罐中的不一样颗粒物为研究对象，通过实验和模拟研究，并结合 Beverloo 经验公式探究影响颗粒物流速的各种因素。
通道中的颗粒流动有三种状态，即稀疏流、密集流和堵塞[5]。所谓“瓶颈效应”便是从稀疏流到密集流再到堵塞转变的过程。据 Janda 等人[6]在二维竖直平底仓桶的颗粒流研究中表明，当容器孔径小于颗粒直径 4 倍，即 D0≤4D 时，颗粒会发生堵塞。采用 PFC 2D 设定平底（倾角为 0）圆形出口容器对该过程进行模拟，结果如图 1 所示。
2) 随后颗粒物在自身重力与颗粒间侧向挤压作用下从容器口流出。当颗粒速度 v 超过某一临界值 vc 时[7],由于开口尺寸的限制，部分颗粒受到阻挡而使速度减小，形成紧密聚拢的拥挤状态(图 1(b))。
3) 随着拥挤程度的加剧，颗粒流量不断减少直至在瓶颈处形成拱状结构，颗粒流停止(图 1(c))。
其中，W 为颗粒物流速，C 为与容器几何结构相关的常数；ρb 为颗粒物质的体积密度，g 为重力加速度，D 为容器开孔直径，k 为与颗粒形状和摩擦相关的常数，d 为颗粒物质的直径。
对堵塞状态下拱形及容器壁处的颗粒进行受力分析，如下图 2 所示。对于拱形处的颗粒，其受到自身重力 G，上方颗粒对其压力 F1、F2，下方颗粒对其支持力 N，周围颗粒对其摩擦力 f1、f2。对于容器壁处的颗粒，其受到自身重力 G′，上方颗粒对其压力 F′1、F′2，容器壁对其支持力 N1、N2 及摩擦力 f3。此外，通过实验发现，若对容器施加一外力 F，当外力超过一定值，则可打破拱形处受力平衡，拱状结构随之破坏，颗粒即可再次流出。
基于上述分析，我们推测影响颗粒物流速的因素可能有：外力、容器开孔直径、颗粒物质直径、容器内颗粒填充高度、容器开孔处倾角、颗粒性质（种类、形状、刚度等）、颗粒间摩擦力、颗粒—容器摩擦力等。由于部分参数通过实验手段难以控制，因此本研究采用实验与软件模拟相结合的方法，研究了上述因素对颗粒物流速的影响。
本实验选用市面上常用的胡椒罐（宽 3.8cm，高 7.7cm，含 2mm、4mm、6mm 三种孔径）。实验用颗粒物为海盐颗粒、玻璃微珠和红曲米粉。为了能够更好的保证海盐颗粒、玻璃微珠颗粒的粒径分布尽量一致，选用不同目数的分样筛进行筛选，得到粒径为 0.315~0.400mm、0.600~0.800mm、1.000~1.430mm 的颗粒物质。红曲米粉粒径较小且难于筛分，未作处理。采用精度为 0.01g 的电子天平对颗粒物质进行称量，胡椒罐平稳倒置，并忽略刚开始漏出时的不稳定流动，流量采集时间为 10s，每次测量重复 3 次，计算平均流速[4]。
由于实验器材等条件限制，实验中难以定量地探究颗粒性质、容器性质、摩擦力等因素与颗粒物流速的关系，故使用颗粒流程序 PFC 进行模拟实验补充。PFC 是著名学者 Peter Cundll 主持下采用细观离散元理论开发的一种数值计算平台[10]，可以模拟球形颗粒集合在罐体中下落的动态特性。
如图 3 所示，PFC 3D 模型中罐体由上下两个平面边界和侧面的普通边界定义[11]。通过调整程序代码，可获得合适大小的罐体及填充其间的颗粒数目，典型参数如表 1 所示，并可根据具体实验条件进行相应修改。当程序运行平衡后，颗粒在重力作用下下落，并在边界处 ( -0.01H ) 消失。当达到预设时间 5solve time 时，下落停止，计算得到颗粒平均流速。
由于实验及模拟中很难保持颗粒填充高度完全一致，本文首先探究容器内颗粒填充高度对流速的影响，结果如图 4 所示。
当颗粒填充高度为 0.8H ~ 1.6H 时，软件模拟中颗粒流速依次为 0.200、0.191、0.195、0.201、0.200g/s；当容器内剩余颗粒体积为 20~50mL 时，颗粒流速依次为 0.194、0.201、0.196、0.196g/s。因此，玻璃微珠的实验和模拟数据均显示，在当前条件下，容器内颗粒填充到一定高度（高于“死区”）后，随着颗粒数继续增加，流速基本不发生明显的变化。形成此现状的原因是：由于颗粒之间的相互作用，垂直方向的力被分解到了水平方向，而摩擦力的存在使得容器壁支撑了颗粒的重量[12]。但是，当摩擦力极小的条件时，PFC 模拟根据结果得出（颗粒间、颗粒—容器间摩擦系数均设定为 0.01），颗粒填充高度越大，流速越大，在 0.8H ~ 1.6H 的高度范围内，流速如图 5 所示。
以上根据结果得出，在本实验设定的研究条件下，颗粒流速与填充高度基本无关，来保证后续实验及模拟结果的可靠性。
1.3 节中提到，施加一定外力可破坏拱状结构，使处于堵塞状态的颗粒再次流出。本章节进一步探究流速与外力输入能量的关系。选择开口直径 2mm 的胡椒罐与粒径 0.315~0.400mm 的玻璃微珠进行实验，由于开孔直径明显大于 4 倍粒径，理论上颗粒下落过程中发生堵塞的概率较低。实验中采用缓慢摩擦与快速摩擦的方式对胡椒罐施加外力。将两个相同的胡椒罐底部紧密相贴，匀速转动上方胡椒罐使颗粒从下方胡椒罐开孔处流出。规定总时间为 10s，转速分别为 12r/min，24r/min，36r/min，48r/min，60r/min，探究摩擦速率对颗粒流速的影响。
结果如图 6 所示，当摩擦速率为 12~60r/min时，颗粒流速在 0.192~0.203g/s 的范围内波动，两者无明显线性关系，表明施加外力并不能加快流速。这是因为，在颗粒流动过程中，可能会形成堵塞，施加一定外力破坏拱形则可使颗粒再次流出，外力输入能量越大，拱状结构越不容易形成，达到“加快流速”的效果；而若颗粒流动全程均无堵塞这一过程的形成，外力也便失去了作用。
探究开孔直径对流速的影响，本文测量了粒径 0.315~0.400mm 的海盐颗粒、玻璃微珠与 PFC 模拟（粒径为0.358mm）在 2mm、4mm、6mm 孔径下的流速，如图 7 所示。
实验及模拟根据结果得出，随着开孔直径的增加，流速均有明显增加，且玻璃球流速约为食盐的 1.6 倍。此外，玻璃球、食盐与模拟实验的流速与开孔 D2.5 近似呈线，表明满足 Beverloo 流量公式[9]。
将玻璃球与食盐颗粒的流速结果对比后我们得知，颗粒的形状对其流速也有着重要影响。非球形颗粒流出不稳定，容易在开孔处形成堵塞使流速减小。实验中由于玻璃球为球体且粘性力很小，海盐近似方形且有几率存在较大的粘性力，因此在相同条件下玻璃球的流速更大。
此外，PFC 软件模拟中采用的颗粒为刚性小球，理论上模拟结果应和玻璃球更吻合，但实际结果却恰好相反。我们推测该反常情况可能与以下因素相关：其一是模拟软件自身颗粒数的限制，由于系统中设定颗粒数上限不超过 5000 粒，因此在粒径较小的情况下，颗粒填充高度有限，使得所测颗粒流速偏小，从而使得模拟结果与海盐颗粒相近。
当颗粒直径由 1.200mm 降至 0.350mm 时，玻璃球与食盐实验中流速增量依次为 2.21、3.10g/s；模拟实验中粒径降至 0.500mm 时，流速增量为 1.271g/s。因此随着颗粒直径的减小，流速增加，符合 Beverloo 流量公式[9]。据朱鸿琛等人[13]的观点，其原因可能是随着颗粒直径的减小，颗粒间的空气层流减小，粘性力减小，从而使流速增加。需要非常说明的是，颗粒物流速并不能随着粒径的无限减小而无限增大。在本实验中，当我们选用微米级粒径的红曲米粉进行实验，发现红曲米粉极易堵塞，甚至无法流出。这是因为当粒径极小时，颗粒比表面积迅速增大，颗粒间作用力增强，成拱效果更显著，流速反而更慢。
探究颗粒刚度对流速的影响，本文通过 PFC 3D 软件模拟了 2mm 孔径、0.3~0.4mm 粒径条件下，法线接触刚度和切线 N/m 依次增加至 5×107 N/m 时的流速，如图 9 所示。
模拟根据结果得出，颗粒物流速随刚度的增加呈现显著的下降趋势，由初始刚度 5×104 N/m 时的 0.38g/s 逐步降至 0.193g/s。一方面，当刚度增大时，颗粒物弹性形变减小，颗粒间的孔隙率增加[14]，单位时间内从容器开口流出的颗粒数量下降，流速降低。
另一方面，刚度增加时，变形主要由颗粒物位置的改变引起[13]，即颗粒间碰撞后运动轨迹显著延长，并处于反复碰撞的活跃状态中。而颗粒物碰撞后运动的方向是随机的，因此难以顺利地从容器开口落下，导致流速明显降低。颗粒刚度越高，这种杂乱无章的碰撞对流速的影响越明显。当我们将刚度参数调高至某些特定的程度时，颗粒在容器内形成“四处乱飞”的情形，几乎无颗粒流出，流速降至零。
探究开孔处倾角对流速的影响，本文通过 PFC 3D 软件模拟了 2mm 孔径、0.315~0.400mm 粒径条件下，开孔处倾角分别为 0.01°、10.00°、20.00°、30.00°、40.00° 时的流速，并通过 PFC 2D 软件展示了不同开孔倾角容器中颗粒的流动情况，如图 10、图11 所示。
当开孔处倾角很小时（0.01°），中心区的颗粒与靠近壁面的颗粒速度梯度较大，中心区颗粒先流动，靠近器壁的颗粒流速缓慢并向中心区汇聚，形成类似于漏斗的形状，此时的颗粒流动称为漏斗流或隧道流。而当开孔处倾角较大时（40.00°），每一层的颗粒在自身作用下以相同的速度整体向下流动，因此这种流动模式被称为平推流[15]。图 11 中倾角由 0.01°~40.00° 的变化过程展示了颗粒运动从漏斗流向平推流变化的过程。
上述模拟根据结果得出，开孔处倾角越大，颗粒越接近整体流动，流速越快。由此得出，平推流流速明显高于隧道流。此外，该结果说明倾斜程度会削弱成拱作用，即大倾角使颗粒形成拱桥发生堵塞的几率大幅度降低，刚性颗粒能顺利下落，流速增加。显然，当倾角 θ→90°时，相当于在直管中运动，颗粒将自由落体运动。
摩擦特性参数最重要的包含颗粒间摩擦系数、颗粒—容器壁摩擦系数，其对颗粒运动的影响方法不一样。颗粒间摩擦力属于系统内部作用，为内摩擦系数；颗粒—容器壁摩擦系数主要影响容器壁附近的颗粒，对整个颗粒系统而言属于外部作用[16]。
本实验采用 PFC 3D 软件，设定容器孔径为 2mm、刚性颗粒粒径为 0.608mm，探究不同摩擦系数条件下的颗粒流速，如图 12、图 13 所示。
模拟根据结果得出，随着摩擦系数的增加，颗粒流速总体上都呈下降趋势，但两种摩擦系数对流速影响程度不同。颗粒间摩擦系数对流速的影响较为显著，当
时，摩擦系数每增加 0.2，降幅为 3%~6%，流速缓慢下降并趋于稳定。
而颗粒—容器壁摩擦系数对流速的影响不显著，其在波动中缓慢下降。当 由 0.01 增至 1.2 时，流速由 0.218g/s 降至 0.198g/s，降幅仅为 9%。容器壁摩擦系数增加会阻碍器壁附近的颗粒向下流动，导致其流速减小。与此同时，容器壁摩擦系数增加会导致孔隙度增加，从而减弱器壁摩擦对中心区颗粒的影响，中心处颗粒流速反而上升[15]。
本文以胡椒罐中的颗粒物为研究对象，通过实验及 PFC 模拟研究，讨论了容器内颗粒填充高度、外力、容器开孔直径、颗粒物质直径、颗粒刚度、容器开孔处倾角、摩擦力等对颗粒物流速的影响规律，得到以下结论：
1） 颗粒填充高度对流速的影响与颗粒间摩擦力有关。常规条件下，根据粮仓效应，流速与颗粒填充高度无关；而当摩擦力很小时，流速与颗粒填充高度呈正相关关系。
2） 当颗粒流动过程中有成拱的可能性时，施加一定外力可破坏拱形结构的形成，外力输入能量越大，越不容易成拱，从而“加快流速”；而当颗粒正常流动时，施加外力不能加快流速。
3） 在一些范围内，开孔直径 D 越大，颗粒直径 d 越小，流速越大；流速与 D、d 满足 Beverloo 公式。
4） 容器开孔处倾角、颗粒粒径分布、颗粒间摩擦力、颗粒容器摩擦力、颗粒性质等均会影响流速。
[8]安红海. 颗粒物质的水平振动行为研究[D]. 杭州: 浙江大学, 2008.
[10]罗勇. 土工问题的颗粒流数值模拟及应用研究[D]. 杭州: 浙江大学, 2007.
[14]陈福全, 韩钧. 高频循环剪切下密砂与结构接触面土体性状的颗粒离散元分析[J]. 四川大学学报(工程科学版), 2011, 43(5): 13-18.
[16]张亚雄. 基于离散元法的筒仓卸料流动特性研[D]. 哈尔滨：东北农业大学, 2018.
基金项目：本项目由教育部产学合作协同育人项目（7）和中国地质大学（北京）教改项目（XXKC202025）支持。本研究由中国地质大学（北京）2020年实验技术探讨研究与应用项目（354711002）和中国地质大学（北京）教改项目（XXKC202025）支持。
通讯作者：刘昊，男，中国地质大学（北京）副教授，博士，研究方向为材料物理与器件，孟德忠，男，中国地质大学（北京）讲师，博士，研究方向为材料高压下的物理性能，.cn。
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